In den 70-ger Jahren studierte ich Mathematik und Physik, um Lehrer zu werden. In dieser Zeit gab es die ersten Taschenrechner. Die konnten nicht viel, waren sehr teuer aber irgendwie bekam man sie doch in die Hände. Ehrlich gesagt waren es keine großen Rechenhilfen als viel mehr interessante technische Spielzeuge. So fanden wir damals einen dummen Fehler, der mit dem verwendeten Chip zu tun hatte. Wenn man die 10 durch 3 teilte und wieder mit 3 Multiplizierte, kam 9,9999999 herraus. Das war soweit noch OK. Addierte man jetzt die 10 hinzu war das Ergebnis 120. Diesen Fehler haben natürlich nicht nur wir gefunden: vgl..

Das Vertrauen, in die Richtigkeit der Ergebnisse war dadurch natürlich begrenzt. Bei der ganzen Spielerei mit dem Taschenrechner bin ich auf ein interessantes Phänomen gestoßen. Wenn man wie in den beiden Beispielen eine 4-stellige Zahl, wie ein Rechteck auf der Tastatur tippt, ist diese immer durch 11 teilbar. Das war interessant aber war es auch immer korrekt? Vielleicht hat dieser "Wunderrechner" einfach mal die Nachkommastellen verschluckt. Aber immer, wenn ich eine neue Zahl tippte, war sie durch 11, ohne Rest teilbar.

Die Jahre vergingen und in den 90-ger Jahren viel mir dieses Phänomen wieder ein. Ich probierte es ein paar mal aus und die 4-stelligen Zahlen waren immer noch durch 11 ohne Rest teilbar. Nun ging ich jedoch davon aus, dass die aktuellen Rechner durchaus korrekt rechneten. Also musste man das ganze doch irgendwie beweisen können.

Zunächst musste das Phänomen irgendwie formalisiert werden. Also durch eine Formel mit möglichst wenigen Parametern ausgedrückt werden. Das Prinzip ist in dem Bild zu erkennen. Man legt zwei Zahlenreihen untereinander und verschiebt eine gegen die andere. Mit diesem Prinzip kann man die Tastatur nachbilden, aber auch noch weitere 4-stellige Zahlen ermitteln, für die dann auch die Vermutung, durch 11 teilbar zu sein, gilt. Jetzt wird die 4-stellige Zahl wie folgt gebildet (rotes Beispiel):

• Es wird in der oberen Zeile eine Zahl ausgewählt. (1)
• Addiert man nun die Zahl, um die verschoben wurde (das wird der Parameter "v") zur ersten dazu, entsteht die zweite Zahl (x+2=3)
• Nun bewegt man sich auf der Zahlenreihe einen beliebigen horizontalen Schritt (das wird der Parameter "h") nach rechts oder links (+ oder -) (3+6=9)
• Die letzte Zahl unserer vierstelligen Zahl entsteht nun, in dem man zur ersten Zahl den horizontalen Schritt von ebend gerade addiert. (1+6=7)
• Alternativ hätte man auch die Verschiebung von der letzten Zahl subtrahieren können. (9-2=7)

Die erste Möglichkeit wollen wir weiter verfolgen.
Mit folgender Formel kann jede auf die beschriebene Weise erzeugte Zahl dargestellt werden. Dabei ist B die Basis des verwendeten Zahlensystems (im einfachen Fall das Dezimalsystem, also B=10). Was jetzt noch bleibt, ist der Nachweis, dass jede dieser Zahlen durch 11 (wie auch immer diese Zahl in dem gewählten Zahlensysten genannt wird) teilbar ist. Das bedeutet, man muss (B+1) ausklammern können.
Die obige Zeile kann wie folgt umgewandelt werden:
Die letzte Zeile zeigt das gewünschte Ergebnmis. Der Faktor (B+1) konnte ausgeklammert werden.

Was zu beweisen war (q.e.d.)